单位圆与正弦曲线

圆上以角速度 ω 匀速转动的点，其纵坐标（高度）随时间的变化正好是 y = R sin(ωt + φ₀)：半径 R 决定振幅，ω 决定周期 T = 2π/ω，初相位 φ₀ 决定曲线在 t = 0 时的起点。把圆上一点沿竖直方向投影，再把这一投影随时间展开，就得到一条正弦曲线——圆周运动与正弦函数因此是同一件事的两种画法。

问题

半径从 1 m 增大到 2 m，正弦曲线的振幅会怎样变化？

角速度 ω 加倍时，周期 T = 2π/ω 会变成原来的几分之几？

初相位 φ₀ 改变时，圆上点的起始位置与曲线的起点怎样变化？

预测

先写下预测：如果只把 ω 加倍而保持半径不变，周期会变成原来的一半吗？如果只改变半径，周期会改变吗？再播放动画逐项比较。

操作

保持默认参数（R = 1 m、ω = 2 rad/s、φ₀ = 0°），按播放，观察圆上的点如何逆时针转动，并把高度描到右侧的正弦曲线上。用“单步”每次前进 0.1 s。然后把 ω 从 2 rad/s 调到 4 rad/s，比较同样时间内曲线完成的周期数；再把半径改为 2 m，只观察振幅的变化。改变参数会重置模拟时间与模型内部状态。

观察

圆上的点始终以恒定角速度逆时针转动（角度随时间增大），它在竖直方向上的投影正是曲线的纵坐标。ω 越大，曲线在固定时间窗内挤进越多周期；半径越大，曲线的峰谷离横轴越远，但相邻峰之间的时间间隔不变。改变初相位只是把整条曲线左右平移。

解释

为什么圆上点的高度是正弦？

设点从与 x 轴成 φ₀ 的位置出发，t 时刻的角度为 θ = ωt + φ₀，则它的纵坐标为 R sin θ。把 θ 写成 ωt + φ₀，就得到 y = R sin(ωt + φ₀)。所以正弦曲线并不神秘：它是圆周运动在竖直方向上的投影随时间展开的结果。

振幅、周期与相位分别由谁决定？

振幅等于半径，A = R；周期由角速度决定，T = 2π/ω，与半径无关；初相位 φ₀ 决定 t = 0 时点在圆上的位置，也决定曲线从何处开始。角度在界面上用度显示，但公式里一律用弧度计算，因为 θ = ωt + φ₀ 中 ω 的单位是 rad/s。

固定比例尺

圆面板固定显示 ±2 个单位，时间轴固定为 12 s 的窗口并随轨迹滚动。改变参数只会移动画面中的图形，不会改变比例尺；当 R 超过 2 m 时，超出固定画面的部分会被裁剪，并给出提示，而不是自动缩放。模型每个固定步长 dt = 1/120 s 让相位增加 ω·dt；曲线按解析式绘制，因此没有数值积分误差。

验证

把 ω 从 2 rad/s 改成 4 rad/s，周期应从 π ≈ 3.14 s 变为 π/2 ≈ 1.57 s，也就是同样时间内周期数加倍。把半径从 1 m 改为 2 m，振幅变为 2 m，而周期读数不变。把 φ₀ 从 0° 改为 90°，曲线在 t = 0 处应从 0 跳到 +R。用“重置参数”可恢复默认值。

延伸

圆周运动与正弦的关系也出现在其他振动里：弹簧振子 的位移同样按正弦随时间变化，其周期由 T = 2π√(m/k) 决定；波的叠加 则把两条正弦波相加。如果让两个频率相近的圆周运动相加，会得到什么？当振幅或角速度随时间变化时，投影还是正弦吗？