単位円とサイン曲線

角速度 ω で一様に円周上を回る点の高さ（縦座標）は、時間とともにちょうど y = R sin(ωt + φ₀) と変化する。半径 R が振幅を、ω が周期 T = 2π/ω を、初期位相 φ₀ が t = 0 での曲線の出発点を決める。円周上の点を縦方向に射影し、その射影を時間に対して展開するとサイン曲線になる。つまり等速円運動とサイン関数は、同じものの二つの見方である。

問い

半径を 1 m から 2 m にすると、サイン曲線の振幅はどう変わる？

角速度 ω を 2 倍にすると、周期 T = 2π/ω は何倍になる？

初期位相 φ₀ を変えると、円上の出発位置と曲線の始まりはどう変わる？

予想

まず予想を書こう。半径を変えずに ω だけを 2 倍にすると、周期は半分になるだろうか？半径だけを変えたら、周期は変わるだろうか？そのうえでアニメーションを再生して比べよう。

操作

既定のパラメーター（R = 1 m、ω = 2 rad/s、φ₀ = 0°）のまま再生を押し、円上の点が反時計回りに回りながら高さを右側のサイン曲線に描いていくようすを見よう。「1 ステップ」でちょうど 0.1 s ずつ進められる。次に ω を 2 rad/s から 4 rad/s に変え、同じ時間に何周期入るかを比べる。さらに半径を 2 m にして、振幅だけが変わることを確かめよう。パラメーターを変えるとシミュレーション時間とモデルの状態がリセットされる。

観察

点は常に一定の角速度で反時計回りに回り（角度は時間とともに増える）、その縦方向の射影が曲線の高さになる。ω が大きいほど固定の時間窓に多くの周期が入る。半径が大きいほど山と谷は軸から遠ざかるが、隣り合う山の間の時間は変わらない。初期位相を変えると曲線全体が左右に平行移動するだけである。

解説

なぜ円上の点の高さがサインになるのか

点が x 軸から φ₀ の角度から出発すると、時刻 t での角度は θ = ωt + φ₀ なので、縦座標は R sin θ である。θ を ωt + φ₀ と書けば y = R sin(ωt + φ₀) が得られる。サイン曲線は不思議なものではなく、円運動の縦方向の射影を時間に対して展開したものにほかならない。

振幅・周期・位相は何で決まるか

振幅は半径に等しく A = R。周期は角速度で決まり T = 2π/ω で、半径には依存しない。初期位相 φ₀ は t = 0 での円上の位置と曲線の始まりを決める。角度は画面では度で表示するが、計算は常にラジアンで行う。θ = ωt + φ₀ の ω の単位が rad/s だからである。

固定した縮尺

円パネルは常に ±2 単位を表示し、時間軸は常に 12 s の固定窓で、軌跡とともにスクロールする。パラメーターを変えても図は平行移動するだけで、縮尺は変わらない。R が 2 m を超えると固定画面からはみ出した部分は切り取られ、自動で拡大縮小する代わりに注意書きを表示する。モデルは固定刻み dt = 1/120 s ごとに位相を ω·dt だけ進め、曲線は解析式で描くので数値積分の誤差はない。

確かめ

ω を 2 rad/s から 4 rad/s に変えると、周期は π ≈ 3.14 s から π/2 ≈ 1.57 s になり、同じ時間に入る周期数が 2 倍になる。半径を 1 m から 2 m に変えると振幅は 2 m になり、周期の表示は変わらない。φ₀ を 0° から 90° に変えると、t = 0 で曲線が 0 から +R へ移る。「パラメーターを戻す」で既定値に戻せる。

発展

円運動とサインの関係はほかの振動にも現れる。ばね振り子 の変位も時間のサインで表され、周期は T = 2π√(m/k) で決まる。波の重ね合わせ では二つのサイン波を足し合わせる。振動数がわずかに異なる二つの円運動を足すと何が得られる？振幅や角速度が時間とともに変わると、射影はまだサインだろうか？