弹簧振子与周期

理想无阻尼水平弹簧振子的周期为 T = 2π√(m/k)：质量越大振动越慢，弹簧越硬振动越快，而振幅完全不改变周期。实验让滑块动起来，并显示动能与势能如何此消彼长、总和保持不变。它与单摆与时间是一对自然的对照——单摆的周期取决于摆长，而不是质量。

问题

保持弹簧不变，把质量变为原来的 4 倍，周期会怎样变化？

如果把弹簧劲度系数变为原来的 4 倍，周期会怎样变化？

释放前把滑块拉得离平衡位置更远，会改变一次振动所用的时间吗？

预测

如果质量变为四倍而劲度系数不变，周期会变为两倍、一半，还是不变？先写下预测，再进行比较。

操作

把滑块从 0.2 m 处释放并播放。暂停后把质量调到 4 kg，再测一次完整振动的时间。然后恢复质量，把劲度系数从 20 N/m 调到 80 N/m。改参会从所选位移处的静止状态重新开始。

观察

质量越大振动越慢，弹簧越硬振动越快。滑块经过平衡位置 x = 0 时最快，在两端瞬时静止。无阻尼模型不会自行停下，初始位移更大只会让滑块走得更远，而不会更慢。

解释

周期为什么取决于质量和劲度系数？

弹簧满足胡克定律 F = −k x，由牛顿第二定律得 m x″ = −k x，即 x″ = −(k/m) x。其解为 x(t) = x₀ cos(ωt)，其中 ω = √(k/m)，因此周期 T = 2π/ω = 2π√(m/k)。质量变为 4 倍时周期变为 2 倍；劲度系数变为 4 倍时周期变为一半。

周期为什么与振幅无关？

方程 x″ = −(k/m) x 是线性的：回复力严格正比于位移。把初始位移放大任意倍数，整段运动也按同一倍数放大，因此完成一次循环的时间不变。振幅改变的是滑块移动的距离和快慢，而不是一个周期有多长。

能量去了哪里？

机械能为 E = ½ k x² + ½ m v²。在两端能量全是势能（v = 0）；在 x = 0 处能量全是动能（x = 0）。无阻尼时总量保持不变。固定模拟步长为 1/120 s，每步再分为 1/960 s 的 RK4 子步，因此数值解带有微小误差，并非精确解。

验证

把质量从 1 kg 改成 4 kg，显示周期应约为两倍；把劲度系数从 20 N/m 改成 80 N/m，周期应约为一半。只改变初始位移，周期应保持不变。当 x₀ = 0 时滑块保持静止，此时周期只作为该平衡点附近小振动的特征值。

延伸

真实弹簧会因内摩擦和空气阻力损失能量，弹簧自身也有质量。加入阻尼后，能量会怎样随时间变化？无质量弹簧的假设在什么情况下不再适用？再与单摆对照，它的周期取决于摆长而非质量。