ばね振り子と周期

理想的な減衰のない水平ばね振り子の周期は T = 2π√(m/k) である。質量が大きいほどゆっくり振れ、ばねが硬いほど速く振れ、振幅は周期をまったく変えない。実験では物体を動かし、運動エネルギーと位置エネルギーが入れ替わりながら合計が一定に保たれるようすを示す。単振り子と時間と対をなす例で、こちらは周期が質量ではなく長さで決まる。

問い

ばねは同じまま質量を 4 倍にすると、周期はどう変わる？

ばね定数を 4 倍にすると、周期はどう変わる？

放す前に物体をより遠くまで引いても、1 回の振動にかかる時間は変わる？

予想

質量だけを 4 倍にし、ばね定数を変えないとき、周期は 2 倍になる、半分になる、それとも変わらない？まず予想を書き、それから比べよう。

操作

物体を 0.2 m から放して再生する。一時停止して質量を 4 kg にし、もう一度 1 回の振動にかかる時間を測る。次に質量を戻し、ばね定数を 20 N/m から 80 N/m に上げる。パラメーターを変えると、選んだ変位で静止した初期状態から始まる。

観察

質量が大きいほどゆっくり振れ、ばねが硬いほど速く振れる。物体はつり合いの位置 x = 0 を通るとき最も速く、両端では一瞬止まる。減衰がないので運動は自然には止まらず、初期変位を大きくしても移動距離が大きくなるだけで、遅くはならない。

解説

周期はなぜ質量とばね定数で決まる？

ばねはフックの法則 F = −k x に従うので、運動の第 2 法則から m x″ = −k x、すなわち x″ = −(k/m) x となる。解は x(t) = x₀ cos(ωt)、ここで ω = √(k/m) なので、周期は T = 2π/ω = 2π√(m/k)。質量を 4 倍にすると周期は 2 倍、ばね定数を 4 倍にすると周期は半分になる。

周期が振幅に依存しないのはなぜ？

式 x″ = −(k/m) x は線形で、復元力は変位に厳密に比例する。初期変位を何倍にしても運動全体が同じ倍率で拡大されるため、1 周期にかかる時間は変わらない。振幅が変えるのは物体の移動距離と速さであり、周期の長さではない。

エネルギーはどこへ行く？

力学的エネルギーは E = ½ k x² + ½ m v²。両端ではすべて位置エネルギー（v = 0）、x = 0 ではすべて運動エネルギー（x = 0）である。減衰がないので合計は一定に保たれる。シミュレーションの刻みは 1/120 s で、各刻みを 1/960 s の RK4 子ステップに分けるため、数値解にはわずかな誤差があり厳密解ではない。

確かめ

質量を 1 kg から 4 kg にすると、表示される周期は約 2 倍になる。ばね定数を 20 N/m から 80 N/m にすると周期は約半分になる。初期変位だけを変えても周期は変わらないはず。x₀ = 0 では物体は静止し、表示される周期はそのつり合いのまわりの小さな振動を表す。

発展

現実のばねは内部摩擦や空気抵抗でエネルギーを失い、ばね自身にも質量がある。減衰を加えるとエネルギーは時間とともにどう変わる？質量のないばねという仮定は、いつごろ使えなくなる？周期が質量ではなく長さで決まる単振り子とも比べてみよう。