单摆与时间

理想单摆在小角度摆动时，周期近似为 T ≈ 2π√(L/g)，与摆球质量无关。保持重力不变，摆长变为四倍，周期约变为两倍；重力加速度越大，周期越短。大振幅时，这个近似会低估实际周期。实验显示小角度估算值，同时用非线性方程计算动画，方便对比两者。

问题

摆长从 0.5 m 增加到 2 m，周期会变成几倍？

保持摆长不变，重力加速度越大，单摆摆得越快还是越慢？

把初始角度从 5° 增加到 70°，小角度近似周期还准确吗？

预测

如果摆长变成四倍，而重力和小振幅不变，周期会变成四倍吗？先写下预测，再进行比较。

操作

把初始角度设为 5°，播放并观察返回同一侧最高点所需的时间。暂停后把摆长从 0.5 m 调到 2 m，重新比较。改参会从静止释放的初始状态重新开始。

观察

摆长增加后，摆动变慢；重力增加后，摆动变快。摆球在最低点最快，在两侧最高点瞬时静止。无阻力模型不会自行停下。

解释

哪些因素影响理想单摆周期？

小振幅时，周期随 √L 增大，随 √g 增大而减小。因此在相同重力下，摆长四倍对应近似周期两倍。质量会从运动方程中约去：重力的回复力矩与摆球的转动惯量都正比于质量。只改变质量，不会改变理想模型的周期。

为什么大振幅的周期比显示值更长？

非线性方程 θ″ = −(g/L) sin θ 描述摆动。仅在小角度时，sin θ ≈ θ，周期才可近似为 T ≈ 2π√(L/g)。偏角较大时，|sin θ| 小于 |θ|，回复加速度比线性近似预测的更弱，周期因此更长。界面中的周期是小角度近似值，运动本身由非线性方程的 RK4 数值积分得到。

能量以单位质量表示：E/m = ½(Lω)² + gL(1 − cos θ)，单位为 J/kg。固定模拟步长是 1/120 s，每步分两次 RK4 积分（1/240 s）；数值解有误差，不是精确解。

验证

把摆长从 0.5 m 改成 2 m，小角度周期应约为两倍。再把初始角度设为 70°，观察真实返回时间是否比小角度近似更长。初始角度为 0 时摆球保持静止，此时周期只作为模型的小扰动特征值。

延伸

现实钟摆会因空气阻力和支点摩擦损失能量。如果加入阻尼，能量如何变化？哪些条件会使质点和不可伸长绳的假设失效？