昼长与纬度

同一天里，不同纬度的白昼长度不同，是因为地球近似球面：太阳光近似平行，同一时刻各纬度的太阳轨迹与地平圈夹角不同，昼长由 cos H₀ = −tan φ tan δ 决定。本案例用静态曲线给出昼长随纬度变化的关系，沿用昼夜案例的假设——球形地球、平行太阳光、24 小时太阳日与固定的太阳赤纬，并忽略太阳视半径与大气折射，也不模拟地球公转或实时天气。

问题

同一天里，为什么不同纬度的白昼长度不同？

赤道上的昼长会随太阳赤纬改变吗？

太阳赤纬为 +23.44° 时，多高的纬度才会出现极昼？

预测

在春分（δ = 0°）时，各纬度的昼长分别是多少？把太阳赤纬设为 +23.44°，纬度从 0° 增大到 90°，昼长会怎样变化？你预计曲线在赤道和极点上的取值分别是多少？

操作

先保持太阳赤纬为 +23.44°，把纬度从 0° 拖到 90°，观察曲线上的圆点。再把太阳赤纬改为 0° 与 −23.44°，比较三条曲线。图中的竖直虚线是极昼、极夜边界 |φ| = 90° − |δ|，着色区域表示出现极昼（暖色）或极夜（冷色）的纬度范围。

观察

曲线以赤道为中心对称，赤道始终是 12 小时。太阳赤纬为正时，北半球昼长大于 12 小时、南半球小于 12 小时；纬度越高偏离越大，接近北极的高纬地区达到 24 小时。把赤纬换成 −23.44°，曲线整体左右翻转。

解释

昼长公式从哪里来？

设纬度 φ、太阳赤纬 δ、时角 H，太阳高度 α 满足 sin α = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H。日出与日落时 α = 0，于是 cos H₀ = −tan φ tan δ，昼长 D = 24H₀/π 小时（H₀ 用弧度）。这与昼夜案例使用的是同一个几何关系。

赤道与春分为什么恒为 12 小时？

φ = 0° 时 tan φ = 0，所以 cos H₀ = 0、H₀ = π/2，昼长恒为 12 小时。δ = 0° 时 tan δ = 0，对任意纬度同样得到 12 小时，这就是春分、秋分全球昼夜等长的原因。

极昼与极夜的边界

当 |φ| ≥ 90° − |δ| 时，−tan φ tan δ 落到 [−1, 1] 之外：与 δ 同号的一侧是极昼（D = 24 h），异号的一侧是极夜（D = 0 h）。δ = +23.44° 时边界在 66.56°，接近北极圈。

极点为什么是退化情形？

在极点，太阳的周日轨迹与地平圈平行，不再有日出日落：δ = 0° 时昼长为 12 小时，δ ≠ 0° 时只能是 24 小时或 0 小时。模型用 sin φ sin δ 的符号判断，避免 tan φ 趋于无穷。

验证

把太阳赤纬设为 0°，在几个纬度上检查昼长都应为 12.00 小时。再把纬度设为 45°、赤纬设为 +23.44°，昼长约为 15.43 小时；把赤纬换成 −23.44°，两次结果之和应为 24.00 小时。最后把纬度设为 90° 与 −90°，检查读数仍然有限、不会出现无效数值。

延伸

本模型忽略大气折射与太阳视半径，所以实际日出日落时刻与这里的几何结果有偏差；实际昼长还受地形与海拔影响，曲线也不代表实时天气。想先理解昼夜的成因，可以先看地球的昼与夜。把赤纬当作季节参数可以比较不同季节的曲线，但这不是完整的公转模拟。