RC 回路と時定数

コンデンサーの電圧は、電源の起電力へ瞬時に跳ぶことはない。電圧を変えるには電荷を運ぶ必要があり、電荷は抵抗を通ってしか流れない。電流が抵抗で制限されるため、電圧は有限の速さでしか変化できない。キルヒホッフの電圧則 E = iR + u とコンデンサーの関係 i = C du/dt を合わせると RC du/dt = E − u となり、解は u(t) = E + (u₀ − E)e^(−t/τ)、ここで τ = RC である。スイッチは t = 0 で閉じ、コンデンサーは u₀ から始まる。1 つの時定数 τ の後、E との差はもとの 1/e になり、t → ∞ で u → E となる。これはオームの法則や直列と並列と同じ回路の考え方で、電荷を蓄えるコンデンサーが加わったことで時間が生まれる。

問い

コンデンサーの電圧は、なぜ電源の起電力へ瞬時に跳ぶのではなく、時間をかけて変化する？

抵抗 R や静電容量 C を大きくすると、電源の起電力に近づくのは速くなる、それとも遅くなる？

コンデンサーが最初から電源より高い電圧をもつとき（u₀ > E）、放電する、それとも充電を続ける？最後にどこで落ち着く？

予想

まず予想を書こう。u₀ = 0、E = 6 V のとき、1 つの時定数 τ の後のコンデンサーの電圧は 6 V のおよそ 63%、86%、95% のどれか？τ を 4 倍にすると、同じ割合に達する時間は何倍になる？次に u₀ = 10 V、E = 0 V として、曲線が上がるか下がるかを予想しよう。

操作

E = 6 V、u₀ = 0 V、R = 40 Ω、C = 0.05 F のままにすると τ = RC = 2 s である。再生して、曲線が u₀ から出発して E に近づくようすを観察する。一時停止し、「1 ステップ」で 0.10 s ずつ進め、t = 0.10、1.00、2.00 s でのコンデンサー電圧の値を記録する。次に C を 0.1 F にして τ = 4 s とし、もう一度再生して曲線がどれだけ緩やかになるか比べる。最後に u₀ = 10 V、E = 0 V にして放電を観察する。スイッチは t = 0 で閉じる。パラメーターを変える（またはリセットを押す）と回路は開き直され、シミュレーション時間は 0 に戻り、コンデンサーの電圧は u₀ に戻る。コンデンサーの内部状態は両端の電圧そのもので、その電圧から続きが進む。

観察

曲線は u₀ から出発し、E に向かって単調に動く。E を飛び越えたり、E で折り返したりしない。τ が大きいほど曲線は緩やかで、τ が小さいほど急になる。R や C を変えても速さだけが変わり、最終的な E は変わらない。u₀ < E では曲線は上がり（充電）、u₀ > E では下がり（放電）、u₀ = E では水平な直線になる。既定のパラメーターでは t = 0 の付近で曲線は垂直ではなく傾いており、電圧の変化率が有限であることがわかる。τ を非常に小さくすると（例えば 0.2 s）、同じ変化が時間窓の左端のごく狭い部分に圧縮される。

解説

コンデンサーの電圧はなぜ跳べないのか？

コンデンサーに蓄えられた電荷と電圧は q = C u を満たし、電流は電荷を運ぶ割合 i = dq/dt = C du/dt である。回路の中で電荷は抵抗を通ってしか動けず、抵抗は電流を i = (E − u)/R に制限する。したがって du/dt = (E − u)/(RC) はつねに有限である。変化率が有限なら電圧は時間とともに連続に変化し、ある瞬間に E へ跳ぶことはできない。R → 0 のときだけ変化率が無限大に近づくが、それは理想的な短絡の極限である。

指数解はどこから来るのか？

回路にキルヒホッフの電圧則を適用すると、電源の起電力 E は抵抗での電圧降下 iR とコンデンサーの電圧 u の和に等しく、E = iR + u である。i = C du/dt を代入すると RC du/dt + u = E となる。これは 1 階の線形方程式で、変数を分けて du/(E − u) = dt/(RC) とし積分すると u(t) = E + (u₀ − E)e^(−t/τ)、τ = RC が得られる。2 つの定数が両端の極限を直接与える。t = 0 で電圧は u₀、t → ∞ で指数項が 0 になり u → E である。

時定数 τ の意味は？

τ = RC は秒の単位をもち、この過程の唯一の時間の尺度である。1 つの τ の後、コンデンサー電圧と E の差はもとの 1/e ≈ 0.368 になる。u₀ = 0 からの充電では u(τ) = E(1 − 1/e) ≈ 0.632E である。5τ の後には差は約 0.7% しか残らず、ふつうはそこで過程が終わったとみなす。電流 i(t) = ((E − u₀)/R)e^(−t/τ) は t = 0 で最大となり、同じ指数で減衰する。τ は R と C の積だけで決まるので、R と C を入れ替えても（例えば R を半分、C を 2 倍にしても）曲線の形はまったく変わらない。

確かめ

既定のパラメーターでは τ = 40 × 0.05 = 2 s である。t = 0.10 s まで進めると u = 6(1 − e^(−0.05)) ≈ 0.293 V、t = 2.00 s では 6(1 − 1/e) ≈ 3.793 V、t = 10.00 s では 6(1 − e^(−5)) ≈ 5.960 V となり、差は約 0.7% しか残らない。C を 0.1 F にして τ = 4 s とすると、t = 2.00 s の値は 6(1 − e^(−0.5)) ≈ 2.361 V まで下がり、3.793 V より明らかに小さい。R を 40 Ω から 80 Ω に変えると、どちらも τ = 4 s なので曲線は前の場合と重なる。逆に R を半分の 20 Ω にし、同時に C を 2 倍の 0.1 F にすると τ は 2 s のままで、曲線は既定の場合と完全に一致する。u₀ = 10 V、E = 0 V とすると、t = 2.00 s の値は約 10/e ≈ 3.679 V である。u₀ を E に等しくすると電流の値は 0 A となり、曲線は水平のままである。

発展

実際の回路には電源の内部抵抗、コンデンサーの漏れ電流、配線の浮遊容量や浮遊インダクタンスがあり、曲線は理想的な指数からずれる。コンデンサーの等価直列抵抗は、スイッチを入れた瞬間にごく小さな電圧の跳びを生む。電源が一定の起電力ではなく時間とともに変わる場合（例えば方形波）、コンデンサーの電圧はどう応答する？RC 回路を 2 段つなぐとどんな曲線が現れる？純抵抗回路の瞬時応答についてはオームの法則、抵抗の合成則とコンデンサーの蓄エネルギーの比較については直列と並列も見てみよう。