二次関数

y = a(x − h)² + k で a ≠ 0 のとき、放物線の頂点は (h, k) にあり、h が左右、k が上下の位置を決める。a が正なら上向き、負なら下向きに開き、|a| が大きいほど幅は狭くなる。a = 0 では y = k という水平な直線になり、頂点は一意に決まらない。パラメーターを一つずつ変えて、それぞれの効果を確かめよう。

問い

水平移動のパラメーター h だけを変えると、放物線の頂点はどう動く？

a の符号と絶対値は、放物線の開く向きと幅にそれぞれどう影響する？

頂点を (2, −1) に置き、下向きに開く放物線にするには、a・h・k をどう設定する？

予想

スライダーを動かす前に、h を 0 から 2 に変えると頂点が左右どちらに動くか予想しよう。予想と実際の結果を比べてみよう。

操作

a = 1、k = 0 のまま h だけを変える。その後 h を 0 に戻し、k と a を別々に変える。青い破線は常に y = x²、琥珀色の実線は現在の関数を示す。

観察

h は頂点の左右の位置、k は上下の位置を決める。a の絶対値が大きいほど放物線は狭くなる。a が負なら下向きに開く。a = 0 のとき、グラフは水平な直線になる。

解説

h が正のとき、右に移動するのはなぜ？

a ≠ 0 では y = a(x − h)² + k の平方の項が x = h で0になり、頂点は (h, k) になる。h を0から2に変えると、頂点は右側の x = 2 に移る。一般に、元の x² と同じ出力を得るには入力を h だけ増やす必要がある。水平移動は入力を、垂直移動は出力を変える。

a は開く向きと幅をどう変える？

x = h から同じ0でない水平距離にある点では、a を掛けると y = k からの垂直距離が変わる。そのため頂点からの垂直距離を固定して比べると、|a| が大きいほど放物線は狭くなる。a が負なら下向きに反転する。a = 0 ではすべての入力で y = k となり、頂点が一意に決まらない定数関数で、放物線ではない。

確かめ

頂点を (2, −1) に移し、下向きに開くようにしよう。条件は h = 2、k = −1、a < 0。x = h に関して対称な点の関数値は等しくなる？

発展

絶対値関数でも同じ変換は使える？任意の関数 f に対して、y = a f(x − h) + k には同様の平行移動と縦方向の拡大・縮小の規則がある。

微分と接線へ進もう。二点間の傾きは、一点での傾きにどう近づく？ その実験の h は入力間の間隔で、水平移動ではない。